Hình chóp đều là gì? Tính chất, diện tích và thể tích

Hình chóp đều là hình chóp có mặt đáy là một đa giác đều và các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh. Khi đó chân đường cao của hình chóp trùng với tâm của đa giác đáy, các cạnh bên bằng nhau và các trung đoạn cũng bằng nhau.

Các yếu tố của hình chóp đều

Xét hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD, đỉnh S:

• Đỉnh: điểm S, nơi các mặt bên gặp nhau.
• Mặt đáy: đa giác đều ABCD.
• Mặt bên: các tam giác cân SAB, SBC, SCD, SDA.
• Cạnh bên: SA, SB, SC, SD, tất cả bằng nhau.
• Đường cao: đoạn SO vuông góc với mặt đáy, trong đó O là tâm của đáy (với hình vuông thì O là giao điểm hai đường chéo).
• Trung đoạn: đường cao của một mặt bên hạ từ đỉnh S, ví dụ SM với M là trung điểm của AB. Trung đoạn luôn dài hơn đường cao SO.

Đây là chỗ học sinh hay nhầm nhất: đường cao đi từ đỉnh xuống tâm đáy, còn trung đoạn đi từ đỉnh xuống trung điểm một cạnh đáy.

Tính chất của hình chóp đều

• Các cạnh bên bằng nhau, các mặt bên là tam giác cân bằng nhau.
• Các trung đoạn bằng nhau.
• Hình chiếu của đỉnh trên mặt đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Với đa giác đều, tâm này cũng là tâm đường tròn nội tiếp, bạn có thể xem thêm bài đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác là gì.
• Các mặt bên tạo với mặt đáy những góc bằng nhau.

Các loại hình chóp đều thường gặp

Loại hình chóp đều	Mặt đáy	Diện tích đáy Sđ
Hình chóp tam giác đều	Tam giác đều cạnh a	a²√3 ÷ 4
Hình chóp tứ giác đều	Hình vuông cạnh a	a²
Hình chóp lục giác đều	Lục giác đều cạnh a	3a²√3 ÷ 2

Trường hợp đáy là hình vuông thì diện tích đáy chính là a², bạn có thể xem lại cách tính ở bài công thức tính diện tích, chu vi hình vuông.

Công thức diện tích và thể tích

Gọi p là nửa chu vi đáy, d là trung đoạn, S_đ là diện tích đáy và h là chiều cao hình chóp:

• Diện tích xung quanh: S_xq = p · d
• Diện tích toàn phần: S_tp = S_xq + S_đ
• Thể tích: V = (1/3) · S_đ · h

Công thức S_xq = p · d thực chất là cách viết gọn: mỗi mặt bên có diện tích bằng nửa cạnh đáy nhân trung đoạn, cộng tất cả lại ta được nửa chu vi đáy nhân trung đoạn.

Liên hệ giữa ba độ dài quan trọng trong hình chóp tứ giác đều cạnh đáy a, cạnh bên b:

• Trung đoạn: d = √(b² − a²÷4)
• Đường cao: h = √(d² − a²÷4) = √(b² − a²÷2)

Các hệ thức này suy ra từ định lý Pitago trong tam giác vuông SOM và SOA.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a = 6 cm, trung đoạn d = 5 cm. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích.

1. Nửa chu vi đáy: p = (4 × 6) ÷ 2 = 12 cm.
2. Diện tích xung quanh: S_xq = p · d = 12 × 5 = 60 cm².
3. Diện tích đáy: S_đ = 6² = 36 cm².
4. Diện tích toàn phần: S_tp = 60 + 36 = 96 cm².
5. Đường cao: h = √(5² − 3²) = √16 = 4 cm (tam giác SOM vuông tại O, OM = a ÷ 2 = 3 cm).
6. Thể tích: V = (1/3) × 36 × 4 = 48 cm³.

Ví dụ 2. Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy 4 cm, cạnh bên 6 cm. Tính thể tích.

1. Đáy là hình vuông cạnh 4 cm nên S_đ = 16 cm².
2. Nửa đường chéo đáy: AO = (4√2) ÷ 2 = 2√2 cm, do đó AO² = 8 cm².
3. Đường cao: h = √(6² − 8) = √28 = 2√7 ≈ 5,29 cm.
4. Thể tích: V = (1/3) × 16 × 2√7 = (32√7) ÷ 3 ≈ 28,22 cm³.

Ví dụ 3. Hình chóp tam giác đều có cạnh đáy 6 cm, trung đoạn 4 cm. Tính diện tích toàn phần.

1. Nửa chu vi đáy: p = (3 × 6) ÷ 2 = 9 cm.
2. S_xq = 9 × 4 = 36 cm².
3. Diện tích đáy: S_đ = (6² × √3) ÷ 4 = 9√3 ≈ 15,59 cm².
4. S_tp = 36 + 9√3 ≈ 51,59 cm².

Phân biệt với hình chóp thường và hình chóp cụt đều

• Hình chóp thường: đáy là đa giác bất kỳ, các cạnh bên không nhất thiết bằng nhau, chân đường cao có thể nằm bất kỳ đâu, kể cả ngoài đáy.
• Hình chóp cụt đều: cắt một hình chóp đều bằng mặt phẳng song song với đáy rồi bỏ phần chóp phía trên. Hai đáy là hai đa giác đều đồng dạng, các mặt bên là hình thang cân, nên khi tính diện tích mặt bên bạn dùng công thức tính diện tích hình thang.
• Tứ diện đều: là hình chóp tam giác đều đặc biệt, có cả bốn mặt là tam giác đều bằng nhau, nghĩa là cạnh bên bằng cạnh đáy.

Lỗi thường gặp khi làm bài

• Lấy đường cao h thay cho trung đoạn d khi tính diện tích xung quanh. Hãy nhớ S_xq dùng trung đoạn, còn thể tích mới dùng đường cao.
• Dùng chu vi đáy thay vì nửa chu vi trong công thức S_xq = p · d, dẫn tới kết quả gấp đôi.
• Quên nhân 1/3 trong công thức thể tích, biến hình chóp thành hình lăng trụ.
• Nhầm đơn vị: diện tích dùng cm², thể tích dùng cm³. Khi quy đổi thể tích sang lít, bạn xem bài 1m³ nước bằng bao nhiêu lít.

Câu hỏi thường gặp

Hình chóp đều có bắt buộc các mặt bên là tam giác đều không?

Không. Các mặt bên chỉ cần là tam giác cân bằng nhau. Chúng là tam giác đều khi và chỉ khi cạnh bên bằng cạnh đáy, khi đó hình chóp tam giác đều trở thành tứ diện đều.

Trung đoạn và đường cao của hình chóp đều khác nhau thế nào?

Đường cao hạ từ đỉnh xuống tâm mặt đáy, còn trung đoạn hạ từ đỉnh xuống trung điểm một cạnh đáy. Trung đoạn luôn dài hơn đường cao.

Công thức thể tích hình chóp đều là gì?

V = (1/3) · S_đ · h, trong đó S_đ là diện tích mặt đáy và h là chiều cao hình chóp.

Hình chóp tứ giác đều có đáy là hình chữ nhật được không?

Không. Đáy phải là đa giác đều, nghĩa là với tứ giác thì phải là hình vuông. Nếu đáy là hình chữ nhật không vuông thì đó chỉ là hình chóp thường.