Định lý Ta-lét (Thales): thuận, đảo, hệ quả và bài tập

Định lý Ta-lét (Thales) trong tam giác: nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. Hệ quả: tam giác tạo thành có ba cạnh tỉ lệ với ba cạnh tam giác ban đầu.

Phát biểu định lý Thales (thuận)

Cho tam giác ABC, M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, và MN // BC. Khi đó định lý Thales cho các tỉ số bằng nhau.

Dạng tỉ lệ thức	Công thức
Đoạn nhỏ trên đoạn lớn	AM/AB = AN/AC
Đoạn trên đoạn còn lại	AM/MB = AN/NC
Đoạn còn lại trên đoạn lớn	MB/AB = NC/AC
Hệ quả (có cạnh đáy)	AM/AB = AN/AC = MN/BC

Mẹo: viết các cạnh cùng phía với đỉnh A ở tử số và mẫu số cho cùng một “hướng”. Nhớ tỉ số luôn là đoạn trên cạnh này chia đoạn tương ứng trên cạnh kia.

Định lý Ta-lét đảo

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại. Nghĩa là nếu AM/AB = AN/AC thì MN // BC. Đây là công cụ để chứng minh hai đường thẳng song song, tham khảo thêm điều kiện để hai đường thẳng song song.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Tam giác ABC có MN // BC, M thuộc AB, N thuộc AC, AM = 4 cm, MB = 6 cm, AN = 3 cm. Tính NC.

1. Vì MN // BC nên AM/MB = AN/NC.
2. Thay số: 4/6 = 3/NC.
3. NC = 3 × 6 : 4 = 4,5 (cm).

Ví dụ 2. Cho MN // BC, AB = 12 cm, AM = 8 cm, BC = 15 cm. Tính MN.

1. Theo hệ quả: AM/AB = MN/BC.
2. 8/12 = MN/15, suy ra MN = 8 × 15 : 12 = 10 (cm).

Ví dụ 3 (định lý đảo). Tam giác ABC có AB = 9 cm, AM = 3 cm (M thuộc AB), AC = 12 cm, AN = 4 cm (N thuộc AC). Chứng minh MN // BC.

1. AM/AB = 3/9 = 1/3.
2. AN/AC = 4/12 = 1/3.
3. Hai tỉ số bằng nhau, theo định lý Ta-lét đảo thì MN // BC.

Mở rộng: ba đường thẳng song song

Ba đường thẳng song song chắn trên hai cát tuyến những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. Chẳng hạn a // b // c cắt hai cát tuyến tại A, B, C và A′, B′, C′ thì AB/BC = A′B′/B′C′. Đây là dạng tổng quát của định lý, và là cơ sở để chia một đoạn thẳng thành các phần tỉ lệ.

Ví dụ 4 (ba đường thẳng song song). Cho a // b // c, hai cát tuyến cắt chúng tại A, B, C và A′, B′, C′. Biết AB = 3, BC = 6, A′B′ = 4. Từ AB/BC = A′B′/B′C′ có 3/6 = 4/B′C′, nên B′C′ = 8.

Ứng dụng và lưu ý

• Đo gián tiếp chiều cao cây, toà nhà bằng bóng nắng và tam giác đồng dạng.
• Chia đoạn thẳng theo tỉ lệ cho trước bằng thước và compa.
• Nhầm lẫn thường gặp: viết sai tỉ số (AM/MB lấy nhầm với AM/AB) hoặc áp dụng khi chưa có điều kiện song song.

Định lý này liên hệ chặt với tam giác đồng dạng, xem các trường hợp đồng dạng của tam giác. Bạn cũng có thể đọc bài định lý Talet là gì và hệ thức cạnh và góc trong tam giác vuông.

Câu hỏi thường gặp

Định lý Thales và định lý Ta-lét có khác nhau không?

Không. Ta-lét là cách đọc tiếng Việt của tên nhà toán học Thales trong sách giáo khoa.

Điều kiện để dùng định lý Ta-lét là gì?

Phải có đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại (hoặc phần kéo dài của chúng).

Định lý đảo dùng để làm gì?

Để chứng minh hai đường thẳng song song khi đã biết các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Hệ quả của định lý Ta-lét là gì?

Nếu MN // BC thì AM/AB = AN/AC = MN/BC, tức ba cạnh tam giác AMN tỉ lệ với ba cạnh tam giác ABC.