Diện tích parabol: công thức tích phân và quy tắc 2/3 Archimedes

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = ax² + bx + c và một đường thẳng cắt nó tại hai điểm có hoành độ x₁ < x₂ là S = |a|·(x₂ − x₁)³ / 6. Công thức này suy ra từ tích phân và tương đương quy tắc 2/3 của Archimedes.

Công thức tính diện tích bằng tích phân

Với hai hàm số liên tục f(x), g(x) trên [α; β], diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị và hai đường x = α, x = β là S = ∫_α^β |f(x) − g(x)| dx. Khi đồ thị là parabol và trục Ox thì g(x) = 0. Để bỏ dấu giá trị tuyệt đối, ta giải phương trình f(x) = g(x) để tìm các giao điểm, xét dấu rồi tách tích phân. Muốn nhớ nguyên hàm cơ bản, xem bảng nguyên hàm và phương pháp tìm nguyên hàm.

Công thức nhanh cho diện tích parabol

Trường hợp	Giao điểm	Diện tích
Parabol y = ax² + bx + c và trục Ox (Δ > 0)	x₁, x₂ là nghiệm, x₂ − x₁ = √Δ / |a|	S = Δ√Δ / (6a²)
Parabol và đường thẳng y = mx + n	x₁, x₂ là nghiệm của ax² + bx + c = mx + n	S = |a|(x₂ − x₁)³ / 6
Hai parabol y = a₁x² + … và y = a₂x² + …	x₁, x₂ là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm	S = |a₁ − a₂|(x₂ − x₁)³ / 6

Cách chứng minh: hiệu hai hàm số có dạng k(x − x₁)(x − x₂) với k = a (hoặc a₁ − a₂). Tính ∫_x₁^x₂ (x − x₁)(x − x₂) dx = −(x₂ − x₁)³/6, rồi lấy giá trị tuyệt đối nhân |k|.

Quy tắc 2/3 của Archimedes

Archimedes chứng minh rằng phần mặt phẳng giới hạn bởi parabol và một dây cung bằng 2/3 diện tích hình chữ nhật có đáy là hình chiếu của dây cung (trục đối xứng thẳng đứng) và chiều cao bằng khoảng cách lớn nhất từ parabol đến dây cung theo phương thẳng đứng. Với parabol y = ax² + bx + c và trục Ox cắt tại hai điểm, hình chữ nhật có đáy x₂ − x₁ và chiều cao bằng |giá trị cực trị| = Δ/(4|a|). Kiểm tra: (2/3)·(√Δ/|a|)·(Δ/(4|a|)) = Δ√Δ/(6a²), trùng công thức bảng trên.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x² − 4x + 3 và trục Ox.

1. Giải x² − 4x + 3 = 0 được x₁ = 1, x₂ = 3.
2. Trên [1; 3] hàm số không dương, nên S = −∫₁³ (x² − 4x + 3) dx = −[x³/3 − 2x² + 3x]₁³.
3. Giá trị tại 3 là 0, tại 1 là 1/3 − 2 + 3 = 4/3. Vậy S = −(0 − 4/3) = 4/3.
4. Kiểm tra bằng công thức nhanh: Δ = 4, S = 4·2/6 = 4/3. ✓

Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x² và y = 2x + 3.

1. Phương trình hoành độ giao điểm: x² = 2x + 3 ⇔ x² − 2x − 3 = 0 ⇔ x = −1 hoặc x = 3.
2. Trên [−1; 3], đường thẳng nằm trên parabol: S = ∫₋₁³ (2x + 3 − x²) dx = [x² + 3x − x³/3]₋₁³.
3. Tại 3: 9 + 9 − 9 = 9. Tại −1: 1 − 3 + 1/3 = −5/3. Vậy S = 9 + 5/3 = 32/3.
4. Công thức nhanh: |a|(x₂ − x₁)³/6 = 1·4³/6 = 64/6 = 32/3. ✓

Ví dụ 3 (quy tắc 2/3). Parabol y = 4 − x² cắt Ox tại x = ±2. Hình chữ nhật có đáy 4, chiều cao 4 (đỉnh có y = 4) nên diện tích 16. Diện tích phần cần tìm là 2/3 · 16 = 32/3.

Lưu ý khi làm bài

• Luôn lấy giá trị tuyệt đối hoặc xác định hàm nào nằm trên.
• Công thức S = |a|(x₂ − x₁)³/6 chỉ dùng khi hai đồ thị cắt nhau tại đúng hai điểm và miền giới hạn bởi chính hai điểm đó.
• Nếu đề cho thêm các đường x = α, x = β thì phải quay lại tích phân thông thường.

Để ôn thêm công cụ liên quan, xem đạo hàm và bảng công thức khi cần tìm đỉnh parabol, và hàm số và định nghĩa cơ bản.

Câu hỏi thường gặp

Công thức tính diện tích parabol và đường thẳng là gì?

S = |a|(x₂ − x₁)³/6, với a là hệ số của x² và x₁, x₂ là hoành độ giao điểm.

Quy tắc 2/3 Archimedes nói gì?

Phần giới hạn bởi parabol và dây cung bằng 2/3 diện tích hình chữ nhật có cùng đáy và chiều cao lớn nhất đến dây cung.

Parabol y = ax² + bx + c cắt Ox thì diện tích bằng bao nhiêu?

S = Δ√Δ/(6a²) với Δ = b² − 4ac > 0.

Có cần xét dấu khi dùng công thức nhanh không?

Không, vì công thức đã dùng |a| nên cho kết quả dương. Nhưng bạn phải chắc miền giới hạn chỉ bởi hai giao điểm đó.