Bảng nguyên hàm cơ bản và mở rộng đầy đủ

Nguyên hàm của hàm số f(x) là hàm F(x) thỏa mãn F′(x) = f(x), và mọi nguyên hàm đều có dạng F(x) + C. Bảng nguyên hàm dưới đây gồm công thức cơ bản (lớp 12), công thức mở rộng với (ax + b) và công thức thường gặp khi giải bài tập. Ví dụ ∫x² dx = x³ : 3 + C.

Nguyên hàm là gì?

Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K. Hàm số F(x) là nguyên hàm của f(x) trên K nếu F′(x) = f(x) với mọi x thuộc K. Ký hiệu: ∫f(x) dx = F(x) + C, với C là hằng số tùy ý. Nguyên hàm là phép toán ngược của đạo hàm, vì thế muốn nhớ bảng nguyên hàm hãy nhớ bảng đạo hàm của các hàm số cơ bản trong bài hàm số.

Bảng nguyên hàm cơ bản

Trong bảng, C là hằng số tùy ý. Các hàm chứa ln hay mẫu số chỉ xét trên khoảng mà hàm số xác định.

f(x)	Nguyên hàm F(x)
0	C
1	x + C
xⁿ (n ≠ −1)	xⁿ⁺¹ : (n + 1) + C
1/x (x ≠ 0)	ln|x| + C
1/x²	−1/x + C
1/√x	2√x + C
eˣ	eˣ + C
aˣ (0 < a ≠ 1)	aˣ : ln a + C
sin x	−cos x + C
cos x	sin x + C
1/cos²x = 1 + tan²x	tan x + C
1/sin²x = 1 + cot²x	−cot x + C

Bảng nguyên hàm mở rộng (hàm hợp với ax + b)

Với a ≠ 0, nếu ∫f(x) dx = F(x) + C thì ∫f(ax + b) dx = (1/a)·F(ax + b) + C. Quy tắc này cho phép viết ngay các nguyên hàm sau:

f(x)	Nguyên hàm F(x)
(ax + b)ⁿ (n ≠ −1)	(ax + b)ⁿ⁺¹ : [a(n + 1)] + C
1/(ax + b)	(1/a)·ln|ax + b| + C
e^(ax+b)	e^(ax+b) : a + C
sin(ax + b)	−cos(ax + b) : a + C
cos(ax + b)	sin(ax + b) : a + C
1/cos²(ax + b)	tan(ax + b) : a + C
1/sin²(ax + b)	−cot(ax + b) : a + C

Một số nguyên hàm thường gặp khác

f(x)	Nguyên hàm F(x)
tan x	−ln|cos x| + C
cot x	ln|sin x| + C
ln x	x·ln x − x + C
1/(x² + a²), a ≠ 0	(1/a)·arctan(x/a) + C
1/√(a² − x²), a > 0, |x| < a	arcsin(x/a) + C
1/(x² − a²), a ≠ 0, x ≠ ±a	(1/2a)·ln|(x − a)/(x + a)| + C
sin²x	x/2 − sin 2x : 4 + C
cos²x	x/2 + sin 2x : 4 + C
sin x·cos x	sin²x : 2 + C

Ba công thức arctan, arcsin và 1/(x² − a²) nằm ngoài sách giáo khoa Toán 12 hiện hành (SGK không dạy hàm arctan, arcsin), chủ yếu dùng để kiểm tra kết quả hoặc ở bậc đại học. Các công thức sin²x và cos²x suy ra từ công thức hạ bậc sin²x = (1 − cos 2x) : 2 và cos²x = (1 + cos 2x) : 2; xem thêm trong bài công thức lượng giác.

Tính chất của nguyên hàm

• (∫f(x) dx)′ = f(x).
• ∫k·f(x) dx = k·∫f(x) dx (k ≠ 0, k là hằng số).
• ∫[f(x) ± g(x)] dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx.
• Phương pháp đổi biến: đặt u = u(x) thì ∫f(u(x))·u′(x) dx = ∫f(u) du.
• Phương pháp từng phần: ∫u dv = u·v − ∫v du.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Tìm ∫(3x² − 4x + 5) dx.

Lời giải: áp dụng tính chất tổng hiệu và công thức xⁿ: ∫3x² dx = x³, ∫4x dx = 2x², ∫5 dx = 5x. Vậy ∫(3x² − 4x + 5) dx = x³ − 2x² + 5x + C.

Ví dụ 2. Tìm ∫(2x + 1)³ dx.

Lời giải: dùng công thức mở rộng với a = 2, b = 1, n = 3: ∫(2x + 1)³ dx = (2x + 1)⁴ : (2 × 4) + C = (2x + 1)⁴ : 8 + C. Kiểm tra: đạo hàm của (2x + 1)⁴ : 8 là 4 × 2 × (2x + 1)³ : 8 = (2x + 1)³ ✓.

Ví dụ 3. Tìm ∫cos 3x dx.

Lời giải: ∫cos(ax + b) dx = sin(ax + b) : a + C với a = 3, b = 0 nên kết quả là (sin 3x) : 3 + C.

Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) = 2x + 3 biết F(1) = 5.

Lời giải: F(x) = x² + 3x + C. Vì F(1) = 1 + 3 + C = 5 nên C = 1. Vậy F(x) = x² + 3x + 1.

Ví dụ 5. Tìm ∫(1/x + eˣ − 1/cos²x) dx trên khoảng (0; π/2).

Lời giải: ∫(1/x) dx = ln x (vì x > 0), ∫eˣ dx = eˣ, ∫(1/cos²x) dx = tan x. Kết quả: ln x + eˣ − tan x + C.

Ví dụ 6 (từng phần). Tìm ∫x·eˣ dx.

Lời giải: đặt u = x, dv = eˣ dx thì du = dx, v = eˣ. Ta có ∫x·eˣ dx = x·eˣ − ∫eˣ dx = x·eˣ − eˣ + C = (x − 1)·eˣ + C.

Từ nguyên hàm đến tích phân

Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì tích phân xác định ∫ từ a đến b của f(x) dx = F(b) − F(a). Ví dụ ∫ từ 1 đến 2 của (2x + 3) dx = [x² + 3x] từ 1 đến 2 = (4 + 6) − (1 + 3) = 6. Khi tính tích phân, hằng số C bị triệt tiêu nên không cần ghi.

Mẹo nhớ bảng nguyên hàm

• Nhớ bảng đạo hàm trước: (sin x)′ = cos x nên ∫cos x dx = sin x; (cos x)′ = −sin x nên ∫sin x dx = −cos x (chú ý dấu trừ).
• Với xⁿ: tăng số mũ lên 1 rồi chia cho số mũ mới, đối ngược với đạo hàm là hạ số mũ.
• Với hàm hợp (ax + b): lấy nguyên hàm như bình thường rồi chia thêm cho a.
• Luôn kiểm tra bằng cách lấy đạo hàm kết quả; nếu ra lại f(x) là đúng.
• Các biến đổi đại số như hằng đẳng thức đáng nhớ và công thức lũy thừa (√x = x^1/2, 1/x² = x⁻²) giúp đưa về xⁿ.

Sai lầm thường gặp

• Quên cộng hằng số C khi tìm nguyên hàm (chỉ bỏ khi tính tích phân xác định).
• Áp dụng xⁿ⁺¹ : (n + 1) cho n = −1; trường hợp này phải dùng ln|x|.
• Nhầm dấu của nguyên hàm sin x (là −cos x) và cot x (là ln|sin x|).
• Quên chia cho a ở hàm hợp: ∫cos 3x dx = (sin 3x) : 3, không phải sin 3x.
• Với ∫(1/x) dx cần dấu giá trị tuyệt đối ln|x| khi x có thể âm.

Câu hỏi thường gặp

Nguyên hàm của xⁿ là gì?

Với n ≠ −1, ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹ : (n + 1) + C. Ví dụ ∫x⁵ dx = x⁶ : 6 + C. Riêng n = −1 thì ∫(1/x) dx = ln|x| + C.

Nguyên hàm của sin x và cos x là gì?

∫sin x dx = −cos x + C và ∫cos x dx = sin x + C. Hãy kiểm tra bằng cách lấy đạo hàm kết quả.

Tại sao nguyên hàm luôn có hằng số C?

Vì đạo hàm của hằng số bằng 0, nên nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C cũng là nguyên hàm với mọi hằng số C. Muốn xác định C cần có điều kiện, chẳng hạn F(1) = 5.

Nguyên hàm khác tích phân thế nào?

Nguyên hàm là một họ hàm số F(x) + C, kết quả là hàm số. Tích phân xác định từ a đến b là một số, bằng F(b) − F(a).

Có cần học thuộc toàn bộ bảng nguyên hàm không?

Nên thuộc bảng cơ bản và quy tắc cho (ax + b). Các công thức mở rộng khác có thể tự suy ra bằng đạo hàm hoặc đổi biến.

Nguồn tham khảo

• Chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán 2018 – Toán 12 (Bộ Giáo dục và Đào tạo)