Công thức logarit đầy đủ: điều kiện, tính chất, đổi cơ số

Logarit cơ số a của b là số c sao cho aᶜ = b, ký hiệu log_a b = c, với điều kiện 0 < a ≠ 1 và b > 0. Các công thức logarit cơ bản gồm cộng, trừ, lũy thừa và đổi cơ số, nêu trong bảng dưới đây.

Định nghĩa và điều kiện

Với a > 0, a ≠ 1 và b > 0: log_a b = c ⇔ a^c = b. Cơ số a phải dương và khác 1; biểu thức dưới dấu logarit (b) phải dương. Ký hiệu đặc biệt: lg b = log₁₀ b (logarit thập phân) và ln b = log_e b (logarit tự nhiên, e ≈ 2,718).

Bảng công thức logarit

Giả sử các biểu thức đều có nghĩa (0 < a ≠ 1, b > 0, c > 0).

Tên	Công thức
Giá trị đặc biệt	loga 1 = 0; loga a = 1
Lũy thừa – logarit	aloga b = b; loga ax = x
Logarit của tích	loga(bc) = loga b + loga c
Logarit của thương	loga(b/c) = loga b − loga c
Logarit nghịch đảo	loga(1/b) = −loga b
Logarit của lũy thừa	loga bα = α · loga b
Đổi cơ số lũy thừa	logaβ b = (1/β) · loga b (β ≠ 0)
Đổi cơ số	loga b = logc b / logc a (0 < c ≠ 1)
Hoán đổi	loga b = 1 / logb a (b ≠ 1); loga b · logb c = loga c

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Tính log₂ 8. Vì 2³ = 8 nên log₂ 8 = 3.

Ví dụ 2. Tính log₂ 12 − log₂ 3. Theo công thức logarit của thương: log₂(12/3) = log₂ 4 = 2.

Ví dụ 3. Tính log₄ 32.

1. Viết 4 = 2² và 32 = 2⁵.
2. log₄ 32 = log_2² 2⁵ = (1/2) · 5 = 5/2.

Ví dụ 4. Cho a = log₂ 3. Tính log₆ 12 theo a.

1. Đổi sang cơ số 2: log₆ 12 = log₂ 12 / log₂ 6.
2. log₂ 12 = log₂(4 · 3) = 2 + a.
3. log₂ 6 = log₂(2 · 3) = 1 + a.
4. Vậy log₆ 12 = (2 + a)/(1 + a). Kiểm tra bằng máy tính: a ≈ 1,585 thì (2 + a)/(1 + a) ≈ 1,387, trùng log₆ 12 ≈ 1,387.

Ví dụ 5. Tìm điều kiện của x để log₃(x − 2) có nghĩa. Cơ số 3 hợp lệ, cần x − 2 > 0 nên x > 2.

Sai lầm thường gặp

• Viết log_a(b + c) = log_a b + log_a c. Công thức này sai; chỉ có công thức cho tích.
• Quên điều kiện. Với số mũ chẵn, dùng log_a b² = 2 log_a |b| (b ≠ 0) khi b có thể âm. Ví dụ log₂ (x²) = 2 log₂ |x|, không phải 2 log₂ x.
• Dùng công thức tích cho hai số âm. Chẳng hạn log_a[(−2)(−3)] có nghĩa nhưng log_a(−2) thì không.
• Nhầm giữa log_a b và log_b a (hai số nghịch đảo nhau).

Liên hệ kiến thức

Logarit là phép toán ngược của lũy thừa, nên cần ôn lại công thức và tính chất lũy thừa. Hàm y = log_a x có đạo hàm 1/(x ln a), xem bảng công thức đạo hàm. Ứng dụng thực tế điển hình là bài toán lãi suất trong công thức lãi kép. Phần hàm số tổng quát có ở hàm số và định nghĩa cơ bản.

Câu hỏi thường gặp

Điều kiện của logarit là gì?

Cơ số a phải thoả 0 < a ≠ 1 và đối số b phải dương (b > 0).

Công thức đổi cơ số logarit là gì?

log_a b = log_c b / log_c a, với a, c dương và khác 1, b dương.

lg và ln khác nhau thế nào?

lg là logarit cơ số 10, còn ln là logarit tự nhiên có cơ số e ≈ 2,718.

log(b + c) có bằng log b + log c không?

Không. Chỉ có log(bc) = log b + log c với b, c dương.