Đường tròn lượng giác là gì? Cách xác định sin, cos, tan, cot

Đường tròn lượng giác là đường tròn tâm O, bán kính bằng 1, trên mặt phẳng toạ độ Oxy, có điểm gốc A(1; 0) và chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ. Điểm M trên đường tròn ứng với góc α có toạ độ M(cos α; sin α).

Cách xác định sin, cos, tan, cot trên đường tròn

Với điểm M(x; y) trên đường tròn ứng với số đo α (độ hoặc rađian):

• cos α = x (hoành độ của M), nên trục Ox là trục côsin.
• sin α = y (tung độ của M), nên trục Oy là trục sin.
• tan α = sin α / cos α = y/x (cos α ≠ 0), tức α ≠ 90° + k·180°.
• cot α = cos α / sin α = x/y (sin α ≠ 0), tức α ≠ k·180°.

Vì M nằm trên đường tròn bán kính 1 nên x² + y² = 1, từ đó sin²α + cos²α = 1 và −1 ≤ sin α, cos α ≤ 1. Góc α và α + k·360° (k ∈ ℤ) cùng xác định một điểm M, nên giá trị lượng giác lặp lại sau mỗi 360° (2π).

Dấu của giá trị lượng giác theo góc phần tư

Góc phần tư	Góc α	sin	cos	tan	cot
I	0° < α < 90°	+	+	+	+
II	90° < α < 180°	+	−	−	−
III	180° < α < 270°	−	−	+	+
IV	270° < α < 360°	−	+	−	−

Mẹo nhớ: “Nhất cả, nhì sin, tam tan (và cot), tứ cos”.

Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Góc (độ)	Góc (rad)	sin	cos	tan
0°	0	0	1	0
30°	π/6	1/2	√3/2	√3/3
45°	π/4	√2/2	√2/2	1
60°	π/3	√3/2	1/2	√3
90°	π/2	1	0	không xác định
120°	2π/3	√3/2	−1/2	−√3
135°	3π/4	√2/2	−√2/2	−1
150°	5π/6	1/2	−√3/2	−√3/3
180°	π	0	−1	0
270°	3π/2	−1	0	không xác định
360°	2π	0	1	0

Đổi độ sang rađian

180° = π rad nên α (rad) = α° × π/180. Ví dụ 60° = π/3 rad; 1 rad ≈ 57,3°. Nhớ đổi đúng chế độ trên máy tính (DEG hoặc RAD) khi tính.

Công thức góc liên quan

• Góc đối: cos(−α) = cos α; sin(−α) = −sin α.
• Góc bù: sin(π − α) = sin α; cos(π − α) = −cos α.
• Góc hơn kém π: sin(α + π) = −sin α; cos(α + π) = −cos α.
• Góc phụ: sin(π/2 − α) = cos α.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Tính sin 150°. Ta có 150° = 180° − 30° nên sin 150° = sin 30° = 1/2.

Ví dụ 2. Tính cos(7π/3). Vì 7π/3 = π/3 + 2π nên cos(7π/3) = cos(π/3) = 1/2.

Ví dụ 3. Xác định dấu và giá trị của sin 210°. 210° thuộc góc phần tư III nên sin âm. 210° = 180° + 30° nên sin 210° = −sin 30° = −1/2.

Ví dụ 4. Cho cos α = 3/5 với 270° < α < 360°. Tìm sin α. Từ sin²α = 1 − 9/25 = 16/25 suy ra sin α = ±4/5. Ở góc phần tư IV sin âm, nên sin α = −4/5.

Lưu ý

• Không nhầm trục: cos ứng với trục hoành, sin ứng với trục tung.
• Khi cos α = 0 thì tan không xác định; khi sin α = 0 thì cot không xác định.
• Cung lượng giác có thể âm (đi theo chiều kim đồng hồ) hoặc lớn hơn 360°.

Các công thức đầy đủ xem ở công thức lượng giác đầy đủ. Phần tam giác vuông ở hệ thức cạnh và góc trong tam giác vuông; tính độ dài cung tròn cần chu vi hình tròn.

Câu hỏi thường gặp

Đường tròn lượng giác có bán kính bao nhiêu?

Bán kính bằng 1, tâm tại gốc toạ độ O.

Trục nào là trục sin, trục nào là trục cos?

Trục tung Oy là trục sin, trục hoành Ox là trục côsin.

Vì sao sin²α + cos²α = 1?

Vì M(cos α; sin α) nằm trên đường tròn x² + y² = 1.

Tan 90° có giá trị không?

Không xác định, vì cos 90° = 0 làm mẫu số bằng 0.