Định lý Py-ta-go: phát biểu, định lý đảo và bộ ba Py-ta-go

Định lý Py-ta-go: trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông, tức a² + b² = c². Định lý đảo cũng đúng: tam giác có c² = a² + b² thì là tam giác vuông tại đỉnh đối diện cạnh c.

Phát biểu định lý Py-ta-go (định lý thuận)

Cho tam giác ABC vuông tại A, với AB = c, AC = b, BC = a (cạnh huyền). Khi đó:

BC² = AB² + AC², hay a² = b² + c².

Từ đó suy ra cách tính cạnh còn thiếu: cạnh huyền a = √(b² + c²); một cạnh góc vuông b = √(a² − c²). Cạnh huyền luôn là cạnh dài nhất, đối diện góc vuông.

Định lý Py-ta-go đảo

Nếu một tam giác có bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông, góc vuông đối diện với cạnh lớn nhất. Đây là cách kiểm tra một tam giác có vuông hay không mà không cần đo góc. Hai đường vuông góc được nhắc ở bài hai đường thẳng vuông góc.

Bộ ba Py-ta-go thường gặp

Bộ ba Py-ta-go là ba số nguyên dương (a, b, c) thỏa mãn a² + b² = c². Bội nguyên của một bộ ba cũng là bộ ba Py-ta-go.

Hai cạnh góc vuông	Cạnh huyền	Kiểm tra
3 và 4	5	9 + 16 = 25
6 và 8	10	36 + 64 = 100
5 và 12	13	25 + 144 = 169
8 và 15	17	64 + 225 = 289
7 và 24	25	49 + 576 = 625
20 và 21	29	400 + 441 = 841

Bộ (3; 4; 5) là quen thuộc nhất, từ đó có (6; 8; 10), (9; 12; 15)…

Ví dụ có lời giải từng bước

Ví dụ 1. Tam giác ABC vuông tại A, AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tính BC.

1. Áp dụng Py-ta-go: BC² = AB² + AC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.
2. BC = √100 = 10 (cm).

Ví dụ 2. Tam giác DEF vuông tại D, cạnh huyền EF = 13 cm, DE = 5 cm. Tính DF.

1. DF² = EF² − DE² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144.
2. DF = √144 = 12 (cm).

Ví dụ 3 (định lý đảo). Tam giác có ba cạnh 7 cm, 24 cm, 25 cm có vuông không?

1. Cạnh lớn nhất là 25: 25² = 625.
2. Tổng bình phương hai cạnh còn lại: 7² + 24² = 49 + 576 = 625.
3. Hai vế bằng nhau, nên tam giác vuông (vuông góc đối diện cạnh 25 cm).

Ví dụ 4. Tam giác có ba cạnh 6 cm, 7 cm, 9 cm có vuông không?

1. 9² = 81; 6² + 7² = 36 + 49 = 85.
2. 81 ≠ 85 nên tam giác không vuông.

Ví dụ 5 (thực tế). Thang dài 5 m dựa vào tường, chân thang cách tường 3 m. Thang chạm tường ở độ cao bao nhiêu?

1. Thang, tường và mặt đất tạo tam giác vuông, thang là cạnh huyền.
2. h² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16, nên h = 4 m.

Ứng dụng

Định lý dùng để tính độ dài đường chéo hình chữ nhật, đường cao tam giác cân, khoảng cách giữa hai điểm trên mặt phẳng tọa độ, và trong xây dựng để căn góc vuông bằng bộ ba 3-4-5. Nó cũng là nền tảng của các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, của tính đường sinh trong diện tích xung quanh hình nón, và liên quan đến khái niệm số chính phương vì các vế đều là bình phương.

Lưu ý khi làm bài

• Chỉ dùng định lý thuận khi đã biết tam giác vuông; nếu chưa biết, dùng định lý đảo để kiểm tra.
• Xác định đúng cạnh huyền (cạnh đối diện góc vuông, dài nhất) trước khi lập đẳng thức.
• Đơn vị các cạnh phải giống nhau.

Câu hỏi thường gặp

Định lý Py-ta-go dùng cho loại tam giác nào?

Chỉ dùng trực tiếp cho tam giác vuông. Với tam giác bất kỳ, cần định lý hàm số cosin.

Bộ ba Py-ta-go là gì?

Là ba số nguyên dương a, b, c thỏa a² + b² = c², chẳng hạn (3; 4; 5), (5; 12; 13), (8; 15; 17).

Định lý Py-ta-go đảo dùng để làm gì?

Dùng để chứng minh một tam giác là tam giác vuông khi biết độ dài ba cạnh: bình phương cạnh lớn nhất bằng tổng bình phương hai cạnh kia.

Định lý này học ở lớp mấy?

Theo chương trình Toán Việt Nam, học sinh gặp định lý Py-ta-go ở Toán lớp 7 và vận dụng nhiều ở lớp 8, lớp 9.

Nguồn tham khảo

• Sách giáo khoa Toán lớp 8, lớp 9 – chương trình giáo dục phổ thông Việt Nam
• Sách giáo khoa Toán lớp 5, lớp 7 – chương trình giáo dục phổ thông Việt Nam