Diện tích hình bình hành: công thức S = a·h và ví dụ

Diện tích hình bình hành S = a · h, tức độ dài một cạnh đáy nhân với chiều cao tương ứng. Nếu biết hai cạnh a, b và góc α giữa chúng thì S = a · b · sin α.

Hình bình hành là gì?

Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song. Các tính chất cơ bản: cạnh đối bằng nhau, góc đối bằng nhau, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Hình chữ nhật, hình thoi và hình vuông đều là hình bình hành đặc biệt.

Công thức tính diện tích và chu vi

Trường hợp	Công thức diện tích	Chu vi
Biết đáy a và chiều cao h	S = a · h	P = 2(a + b)
Biết hai cạnh a, b và góc α	S = a · b · sin α	P = 2(a + b)
Biết hai đường chéo d1, d2 và góc φ giữa chúng	S = ½ · d1 · d2 · sin φ	–

Chú ý: chiều cao h là khoảng cách giữa hai cạnh đáy song song, vuông góc với đáy, không phải độ dài cạnh bên. Vì vậy diện tích hình bình hành luôn nhỏ hơn hoặc bằng tích hai cạnh kề a · b (bằng nhau khi là hình chữ nhật).

Vì sao S = a · h?

Cắt phần tam giác vuông ở một đầu hình bình hành rồi ghép sang đầu còn lại, ta được một hình chữ nhật có cạnh a và h. Hai hình có cùng diện tích nên S = a · h. Cách nghĩ này giúp nhớ công thức lâu hơn, và liên hệ với diện tích tam giác: đường chéo chia hình bình hành thành hai tam giác bằng nhau.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Hình bình hành có đáy 12 cm, chiều cao 7 cm. Tính diện tích.

S = 12 · 7 = 84 cm².

Ví dụ 2. Hình bình hành ABCD có AB = 8 cm, AD = 5 cm, góc A = 30°. Tính diện tích.

sin 30° = ½ nên S = 8 · 5 · ½ = 20 cm².

Ví dụ 3. Diện tích 96 cm², cạnh đáy 12 cm. Tìm chiều cao.

h = S ÷ a = 96 ÷ 12 = 8 cm.

Ví dụ 4. Hai cạnh kề 10 cm và 6 cm. Tính chu vi.

P = 2(10 + 6) = 32 cm.

Ứng dụng thực tế

Công thức này dùng khi tính diện tích mảnh đất hình bình hành, tấm lát nghiêng, hoặc phần vải cắt chéo. Ví dụ mảnh vườn có hai bờ song song cách nhau 15 m, mỗi bờ dài 24 m thì diện tích là 24 · 15 = 360 m². Nếu mua cỏ giá theo m² thì chỉ cần nhân diện tích với đơn giá, không cần quan tâm độ nghiêng của hai cạnh bên.

Ví dụ 5. Hình bình hành có hai cạnh 9 cm, 4 cm và góc 150°. Vì sin 150° = sin 30° = ½ nên S = 9 · 4 · ½ = 18 cm². Góc tù và góc nhọn bù nhau cho cùng giá trị sin, nên kết quả không phụ thuộc bạn chọn góc nào.

So sánh với các hình tứ giác khác

• Hình chữ nhật: S = dài × rộng (h chính là cạnh kề).
• Hình thoi: S = a · h hoặc ½ · d₁ · d₂, xem diện tích hình thoi.
• Hình vuông: S = a², chu vi 4a, xem chu vi hình vuông.

Lỗi thường gặp

• Lấy cạnh bên thay cho chiều cao.
• Quên đổi đơn vị trước khi nhân (cm với m).
• Dùng công thức ½ · d₁ · d₂ cho hình bình hành mà không có sin φ; công thức đó chỉ đúng khi hai đường chéo vuông góc, như hình thoi.

Câu hỏi thường gặp

Diện tích hình bình hành có bằng cạnh nhân cạnh không?

Không. Phải nhân cạnh đáy với chiều cao tương ứng, hoặc nhân hai cạnh với sin của góc xen giữa.

Chiều cao hình bình hành có thể bằng cạnh bên không?

Chỉ khi cạnh bên vuông góc với đáy, lúc đó hình bình hành là hình chữ nhật.

Đường chéo có chia đôi diện tích hình bình hành không?

Có. Mỗi đường chéo chia hình thành hai tam giác bằng nhau, mỗi tam giác có diện tích bằng nửa hình.

Chu vi hình bình hành tính thế nào?

P = 2(a + b) với a, b là hai cạnh kề nhau.

Nguồn tham khảo

• Sách giáo khoa Toán, chương trình GDPT 2018 (Bộ Giáo dục và Đào tạo)