Công thức tính mốt của mẫu số liệu và mẫu số liệu ghép nhóm

Mốt của mẫu số liệu là giá trị có tần số xuất hiện lớn nhất. Với mẫu số liệu ghép nhóm, mốt được ước lượng bằng công thức Mₒ = uₘ + (nₘ − nₘ₋₁) / [(nₘ − nₘ₋₁) + (nₘ − nₘ₊₁)] · h.

Mốt là gì?

Mốt (ký hiệu Mₒ) cho biết giá trị “phổ biến nhất” của mẫu số liệu, ví dụ cỡ áo bán chạy nhất hay điểm số gặp nhiều nhất. Khác với số trung bình, mốt không bị ảnh hưởng bởi giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ, và có thể áp dụng cho cả dữ liệu không phải số (màu sắc, loại sản phẩm).

Mốt của mẫu số liệu không ghép nhóm

Đếm tần số của từng giá trị, giá trị nào có tần số lớn nhất là mốt. Một mẫu có thể có một mốt, nhiều mốt (khi nhiều giá trị cùng tần số cao nhất) hoặc coi như không có mốt nếu mọi giá trị cùng tần số.

Ví dụ 1. Cỡ giày của 8 bạn: 38; 39; 39; 40; 39; 41; 40; 39. Tần số: 38 (1), 39 (4), 40 (2), 41 (1). Vậy Mₒ = 39.

Ví dụ 2. Mẫu 2; 3; 3; 5; 5; 7 có tần số của 3 và 5 cùng bằng 2, lớn nhất, nên mẫu có hai mốt là 3 và 5.

Công thức tính mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

Với bảng tần số ghép nhóm có các nhóm độ dài bằng nhau, ta làm như sau.

1. Chọn nhóm có tần số lớn nhất, gọi là nhóm [uₘ; uₘ₊₁). Đây là nhóm chứa mốt.
2. Xác định nₘ là tần số của nhóm đó, nₘ₋₁ là tần số nhóm liền trước, nₘ₊₁ là tần số nhóm liền sau, h là độ dài nhóm.
3. Thay vào công thức. Nếu nhóm chứa mốt là nhóm đầu thì lấy nₘ₋₁ = 0; nếu là nhóm cuối thì lấy nₘ₊₁ = 0.

Ký hiệu	Ý nghĩa
uₘ	Đầu mút trái của nhóm có tần số lớn nhất
nₘ	Tần số của nhóm chứa mốt
nₘ₋₁, nₘ₊₁	Tần số của nhóm liền trước, liền sau
h	Độ dài của nhóm
Mₒ	uₘ + (nₘ − nₘ₋₁)/[(nₘ − nₘ₋₁) + (nₘ − nₘ₊₁)] · h

Ví dụ 3: chiều cao của 40 học sinh

Nhóm (cm)	[150; 155)	[155; 160)	[160; 165)	[165; 170)	[170; 175)
Tần số	4	9	14	8	5

1. Tổng tần số 4 + 9 + 14 + 8 + 5 = 40 (khớp).
2. Nhóm có tần số lớn nhất là [160; 165): uₘ = 160, nₘ = 14, h = 5.
3. nₘ₋₁ = 9, nₘ₊₁ = 8.
4. Mₒ = 160 + (14 − 9)/[(14 − 9) + (14 − 8)] · 5 = 160 + (5/11) · 5 = 160 + 25/11 ≈ 162,27 (cm).

Kết quả nằm trong nhóm [160; 165), nghiêng về phía nhóm trước vì nhóm trước có tần số cao hơn nhóm sau.

Ý nghĩa và lưu ý

• Mốt của số liệu ghép nhóm chỉ là giá trị xấp xỉ; công thức nội suy giả định số liệu phân bố đều trong nhóm.
• Nếu có nhiều nhóm cùng tần số lớn nhất thì chọn từng nhóm để tính, ra nhiều mốt.
• Công thức trên dùng khi các nhóm cùng độ dài. Khi độ dài khác nhau, cần quy về cùng độ dài trước.
• Trình bày kết quả có đơn vị và làm tròn hợp lý, theo yêu cầu đề bài.

Muốn ôn kỹ năng tính toán phân số trong công thức này, xem phân số và các dạng phân số. Thống kê cũng gắn với bài cách tính điểm trung bình môn, còn nội dung tỉ lệ ở tỉ lệ thức.

Câu hỏi thường gặp

Mốt có thể có nhiều giá trị không?

Có. Khi nhiều giá trị cùng có tần số lớn nhất, mẫu số liệu có nhiều mốt.

Nhóm đầu hoặc nhóm cuối chứa mốt thì tính thế nào?

Lấy tần số nhóm trước (hoặc nhóm sau) bằng 0 rồi áp dụng công thức như bình thường.

Mốt khác trung bình cộng và trung vị ở điểm nào?

Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất, trung vị là giá trị chia mẫu thành hai nửa, còn trung bình là tổng chia cho số phần tử.

Mốt của số liệu ghép nhóm có chính xác không?

Không hoàn toàn, đây là giá trị ước lượng dựa trên giả định số liệu phân bố đều trong nhóm.