Công thức hạ bậc lượng giác: đầy đủ, mẹo nhớ và ví dụ

Công thức hạ bậc: sin²x = (1 − cos 2x)/2 và cos²x = (1 + cos 2x)/2. Chúng đưa lũy thừa bậc hai của sin, cos về biểu thức bậc nhất theo cos 2x, rất hữu ích khi giải phương trình lượng giác và tính tích phân.

Công thức hạ bậc đầy đủ

Hạ bậc	Công thức	Điều kiện
sin²x	(1 − cos 2x)/2	Mọi x
cos²x	(1 + cos 2x)/2	Mọi x
tan²x	(1 − cos 2x)/(1 + cos 2x)	cos x ≠ 0
cot²x	(1 + cos 2x)/(1 − cos 2x)	sin x ≠ 0
sin³x	(3 sin x − sin 3x)/4	Mọi x
cos³x	(3 cos x + cos 3x)/4	Mọi x

Công thức hạ bậc xuất phát từ đâu?

Từ công thức nhân đôi cos 2x = 1 − 2sin²x = 2cos²x − 1. Giải ra sin²x và cos²x ta được hai công thức hạ bậc ở trên. Với bậc ba, dùng công thức nhân ba cos 3x = 4cos³x − 3cos x và sin 3x = 3 sin x − 4sin³x. Bạn có thể xem thêm danh sách đầy đủ ở bài công thức lượng giác.

Mẹo nhớ

• Cả hai công thức bậc hai đều có mẫu 2 và tử dạng 1 ± cos 2x.
• cos thì cộng (1 + cos 2x); sin thì trừ (1 − cos 2x).
• Góc ở vế phải luôn gấp đôi góc ở vế trái.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Tính sin²15°.

sin²15° = (1 − cos 30°)/2 = (1 − √3/2)/2 = (2 − √3)/4 ≈ 0,067.

Ví dụ 2. Tính cos²(π/8).

cos²(π/8) = (1 + cos(π/4))/2 = (1 + √2/2)/2 = (2 + √2)/4 ≈ 0,854.

Ví dụ 3 (phương trình). Giải sin²x = 1/4.

Hạ bậc: (1 − cos 2x)/2 = 1/4, suy ra cos 2x = 1/2. Do đó 2x = ±π/3 + k2π, hay x = ±π/6 + kπ (k ∈ ℤ). Kiểm tra: sin²(π/6) = 1/4, đúng.

Ví dụ 4 (tích phân). Tính ∫₀^π/2 sin²x dx.

Ta có sin²x = (1 − cos 2x)/2, nguyên hàm là x/2 − sin 2x/4. Thay cận: (π/4 − 0) − (0 − 0) = π/4.

Ví dụ 5 (nguyên hàm). ∫ cos²x dx = ∫ (1 + cos 2x)/2 dx = x/2 + sin 2x/4 + C. Cách làm này nối với các bài nguyên hàm và tích phân.

Ví dụ 6 (tan²). Tính tan²(π/8).

tan²(π/8) = (1 − cos(π/4))/(1 + cos(π/4)) = (1 − √2/2)/(1 + √2/2) = (2 − √2)/(2 + √2). Nhân tử và mẫu với (2 − √2) được (2 − √2)²/2 = (6 − 4√2)/2 = 3 − 2√2 ≈ 0,172.

Ví dụ 7 (bậc ba). Tính sin³(π/6) bằng công thức hạ bậc: (3 sin(π/6) − sin(π/2))/4 = (3 · ½ − 1)/4 = 1/8. Đối chiếu trực tiếp: (½)³ = 1/8, đúng. Công thức bậc ba hay dùng khi tính nguyên hàm của sin³x và cos³x.

Ví dụ 8 (hạ bậc hai lần). Tính ∫₀^π cos⁴x dx. Ta có cos⁴x = ((1 + cos 2x)/2)² = (1 + 2cos 2x + cos²2x)/4 = (3 + 4cos 2x + cos 4x)/8. Nguyên hàm là 3x/8 + sin 2x/4 + sin 4x/32. Thay cận 0 và π, các số hạng sin đều bằng 0, còn lại 3π/8 − 0 = 3π/8. Đây là dạng bài quen thuộc khi bậc của sin, cos là 4 trở lên: hạ bậc liên tiếp cho đến khi chỉ còn cos của góc bội.

Ứng dụng

• Giải phương trình lượng giác chứa sin²x, cos²x.
• Tính nguyên hàm, tích phân của sin²x, cos²x, sin⁴x, cos⁴x (hạ bậc hai lần).
• Rút gọn biểu thức, chứng minh đẳng thức lượng giác.

Lưu ý

Công thức hạ bậc tan²x và cot²x chỉ dùng khi biểu thức xác định. Đừng viết sin²x = (1 − cos x)/2: góc phải là 2x, không phải x.

Câu hỏi thường gặp

Công thức hạ bậc là gì?

Là công thức biến đổi lũy thừa bậc cao của sin, cos thành biểu thức bậc thấp hơn theo góc nhân đôi hoặc nhân ba.

sin²x hạ bậc bằng bao nhiêu?

sin²x = (1 − cos 2x)/2.

cos²x hạ bậc bằng bao nhiêu?

cos²x = (1 + cos 2x)/2.

Hạ bậc sin⁴x thế nào?

sin⁴x = (sin²x)² = ((1 − cos 2x)/2)² = (1 − 2cos 2x + cos²2x)/4, rồi hạ bậc tiếp cos²2x = (1 + cos 4x)/2 để được sin⁴x = (3 − 4cos 2x + cos 4x)/8.

Nguồn tham khảo

• Sách giáo khoa Toán, chương trình GDPT 2018 (Bộ Giáo dục và Đào tạo)