Công thức cấp số nhân: số hạng tổng quát, tổng và ví dụ

Cấp số nhân có số hạng tổng quát u_n = u₁ · qⁿ⁻¹ và tổng n số hạng đầu S_n = u₁ · (qⁿ − 1)/(q − 1) (q ≠ 1). Trong đó u₁ là số hạng đầu và q là công bội.

Cấp số nhân là gì?

Cấp số nhân là dãy số mà kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng bằng số hạng đứng ngay trước nhân với một số q không đổi: u_n+1 = u_n · q. Số q gọi là công bội. Ví dụ dãy 3, 6, 12, 24, 48 có u₁ = 3, q = 2.

Bảng công thức cấp số nhân

Nội dung	Công thức	Điều kiện
Định nghĩa	un+1 = un · q	q là công bội
Số hạng tổng quát	un = u1 · qn−1	n ≥ 1
Tính chất	uk² = uk−1 · uk+1	k ≥ 2
Tổng n số hạng đầu	Sn = u1 · (qn − 1)/(q − 1)	q ≠ 1
Tổng khi q = 1	Sn = n · u1	q = 1
Tổng vô hạn	S = u1/(1 − q)	|q| < 1

Hãy so sánh với cấp số cộng (cộng thêm công sai d), còn cấp số nhân liên quan chặt với lũy thừa vì số hạng thứ n chứa qⁿ⁻¹. Về bản chất, dãy số là một hàm số xác định trên tập số nguyên dương, xem định nghĩa hàm số. Tỉ số liên tiếp không đổi cũng gợi nhớ đến đại lượng tỉ lệ thuận.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Cấp số nhân có u₁ = 3, q = 2. Tìm u₅ và S₆.

u₅ = 3 · 2⁴ = 48. S₆ = 3 · (2⁶ − 1)/(2 − 1) = 3 · 63 = 189. Kiểm tra: 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 = 189.

Ví dụ 2. Tìm x để ba số 2, x, 18 lập thành cấp số nhân.

Theo tính chất x² = 2 · 18 = 36, suy ra x = 6 hoặc x = −6 (công bội lần lượt là 3 và −3).

Ví dụ 3. Cho u₂ = 6, u₅ = 162. Tìm u₁ và q.

u₅/u₂ = q³ = 162/6 = 27 nên q = 3. Khi đó u₁ = u₂/q = 6/3 = 2. Kiểm tra: 2, 6, 18, 54, 162.

Ví dụ 4. Với u₁ = 1, q = 2, cần lấy bao nhiêu số hạng đầu để tổng bằng 1.023?

S_n = 2ⁿ − 1 = 1.023 nên 2ⁿ = 1.024 = 2¹⁰, vậy n = 10.

Ví dụ 5 (tổng vô hạn). Tính 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …

u₁ = 1, q = 1/2, |q| < 1 nên S = 1/(1 − 1/2) = 2.

Cách nhận biết cấp số nhân

• Tính các tỉ số u₂/u₁, u₃/u₂…; nếu bằng nhau thì là cấp số nhân.
• Với ba số a, b, c (khác 0): lập thành cấp số nhân khi b² = a · c.
• Dãy có số hạng bằng 0 thì chỉ có thể là cấp số nhân khi mọi số hạng sau đó bằng 0.

Lưu ý

Quên điều kiện q ≠ 1 khi dùng công thức tổng là lỗi hay gặp. Khi q âm, các số hạng đổi dấu xen kẽ. Công thức tổng vô hạn chỉ dùng với |q| < 1, ví dụ không áp dụng được cho q = 2.

Câu hỏi thường gặp

Công bội của cấp số nhân tính thế nào?

q = u_n+1/u_n với u_n khác 0, hoặc q = u₂/u₁.

Tổng cấp số nhân khi q = 1 là bao nhiêu?

Mọi số hạng bằng u₁ nên S_n = n · u₁.

Cấp số nhân khác cấp số cộng ở điểm nào?

Cấp số cộng cộng thêm công sai d mỗi bước; cấp số nhân nhân với công bội q mỗi bước.

Khi nào tổng cấp số nhân vô hạn có giá trị?

Khi |q| < 1; lúc đó S = u₁/(1 − q). Nếu |q| ≥ 1 (và u₁ ≠ 0) tổng không hội tụ.

Nguồn tham khảo

• Sách giáo khoa Toán, chương trình GDPT 2018 (Bộ Giáo dục và Đào tạo)