Công thức cấp số cộng: số hạng tổng quát và tổng n số hạng

Cấp số cộng là dãy số trong đó mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó cộng với một số không đổi d, gọi là công sai. Hai công thức quan trọng nhất là số hạng tổng quát u_n = u₁ + (n − 1)d và tổng n số hạng đầu S_n = n(u₁ + u_n)/2.

Định nghĩa cấp số cộng

Dãy số (u_n) là cấp số cộng khi u_n+1 = u_n + d với mọi n ≥ 1, trong đó d là công sai. Muốn kiểm tra một dãy có phải cấp số cộng hay không, ta tính hiệu hai số hạng liên tiếp u_n+1 − u_n; nếu hiệu này luôn bằng cùng một số thì đó là cấp số cộng.

Ví dụ: dãy 2, 5, 8, 11, … có 5 − 2 = 8 − 5 = 11 − 8 = 3 nên là cấp số cộng với u₁ = 2 và d = 3. Nếu d > 0 dãy tăng, d < 0 dãy giảm, d = 0 là dãy hằng.

Bảng công thức cấp số cộng

Nội dung	Công thức
Định nghĩa	un+1 = un + d
Công sai	d = un+1 − un
Số hạng tổng quát	un = u1 + (n − 1)d
Số hạng bất kỳ theo số hạng khác	un = uk + (n − k)d
Tính chất ba số hạng liên tiếp	uk = (uk−1 + uk+1)/2, với k ≥ 2
Tổng n số hạng đầu (cách 1)	Sn = n(u1 + un)/2
Tổng n số hạng đầu (cách 2)	Sn = n[2u1 + (n − 1)d]/2

Cách nhớ: tổng cấp số cộng bằng trung bình cộng của số đầu và số cuối, nhân với số số hạng. Công thức này xuất phát từ việc ghép cặp số hạng đầu với số hạng cuối, mỗi cặp có cùng tổng u₁ + u_n.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Cho cấp số cộng có u₁ = 3 và d = 4. Tính u₁₀ và S₁₀.

Lời giải: u₁₀ = 3 + (10 − 1) × 4 = 3 + 36 = 39. S₁₀ = 10 × (3 + 39)/2 = 10 × 21 = 210. Kiểm tra bằng công thức thứ hai: S₁₀ = 10 × [2 × 3 + 9 × 4]/2 = 10 × 42/2 = 210.

Ví dụ 2. Cấp số cộng có u₃ = 7 và u₇ = 19. Tìm u₁ và d.

Lời giải: u₇ = u₃ + (7 − 3)d nên 19 = 7 + 4d, suy ra d = 3. Khi đó u₁ = u₃ − 2d = 7 − 6 = 1. Thử lại: u₇ = 1 + 6 × 3 = 19 (đúng).

Ví dụ 3. Cho dãy 5, 9, 13, …, 101. Dãy có bao nhiêu số hạng và tổng bằng bao nhiêu?

Lời giải: u₁ = 5, d = 4. Từ 101 = 5 + (n − 1) × 4 suy ra n − 1 = 24, tức n = 25. Tổng S₂₅ = 25 × (5 + 101)/2 = 25 × 53 = 1.325.

Ví dụ 4. Tính tổng 1 + 2 + 3 + … + 100.

Lời giải: Đây là cấp số cộng có u₁ = 1, d = 1, n = 100. S₁₀₀ = 100 × (1 + 100)/2 = 5.050.

Ví dụ 5. Ba số lập thành cấp số cộng có tổng bằng 21 và tích bằng 315. Tìm ba số đó.

Lời giải: Gọi ba số là a − d, a, a + d. Tổng bằng 3a = 21 nên a = 7. Tích: (7 − d) × 7 × (7 + d) = 315, suy ra 49 − d² = 45, d² = 4, d = ±2. Với d = 2 ta có 5, 7, 9; với d = −2 ta có 9, 7, 5. Cả hai cách chỉ là một bộ ba số theo hai chiều sắp xếp.

Cấp số cộng và cấp số nhân khác nhau thế nào?

Cấp số cộng cộng thêm một hằng số d để sang số hạng kế tiếp, còn cấp số nhân nhân với một hằng số q. Bạn nên học song song hai loại này để không nhầm công thức. Kiến thức này thuộc chương trình Toán lớp 11.

Lỗi thường gặp

• Nhầm (n − 1)d thành nd khi tính u_n.
• Quên rằng dãy bắt đầu từ u₁ nên số số hạng là n chứ không phải n − 1 khi tính tổng.
• Nhầm dấu của công sai khi dãy giảm.

Để rèn kỹ năng biến đổi đại số khi giải bài, hãy xem thêm 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, cách giải nhanh phương trình bậc 2 (cần khi tìm d từ điều kiện tích) và bài về số chính phương.

Câu hỏi thường gặp

Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng là gì?

u_n = u₁ + (n − 1)d, trong đó u₁ là số hạng đầu và d là công sai.

Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng?

S_n = n(u₁ + u_n)/2 hoặc S_n = n[2u₁ + (n − 1)d]/2.

Làm sao nhận biết một dãy là cấp số cộng?

Tính hiệu hai số hạng liên tiếp. Nếu hiệu luôn bằng cùng một số thì dãy là cấp số cộng và số đó chính là công sai d.

Ba số a, b, c lập thành cấp số cộng khi nào?

Khi b là trung bình cộng của a và c, tức a + c = 2b.

Nguồn tham khảo

• Sách giáo khoa Toán 11 (chương trình giáo dục phổ thông Việt Nam) – Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân