Thể tích hình nón: công thức V = ⅓πr²h và ví dụ

Thể tích hình nón bằng V = ⅓ × π × r² × h, tức một phần ba thể tích hình trụ có cùng bán kính đáy r và chiều cao h.

Công thức và ý nghĩa

Hình nón và hình trụ có cùng đáy, cùng chiều cao thì thể tích hình nón bằng ⅓ thể tích hình trụ. Vì thể tích hình trụ là πr²h (xem thể tích hình trụ), ta có V = ⅓πr²h. Trong đó r là bán kính đáy, h là chiều cao (khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng đáy). Đơn vị thể tích là cm³, m³… và h phải là chiều cao, không phải đường sinh.

Đại lượng	Công thức
Thể tích	V = ⅓πr²h
Chiều cao khi biết V và r	h = 3V ÷ (πr²)
Bán kính khi biết V và h	r = √(3V ÷ (πh))
Đường sinh	l = √(r² + h²)
Diện tích xung quanh	Sxq = πrl (xem diện tích xung quanh hình nón)

Ví dụ có lời giải từng bước

Ví dụ 1. Hình nón có r = 3 cm, h = 4 cm. Tính thể tích.

1. V = ⅓ × π × 3² × 4.
2. = ⅓ × π × 9 × 4 = ⅓ × 36π = 12π (cm³).
3. Với π ≈ 3,14159: V ≈ 37,70 cm³.

Ví dụ 2. Hình nón có r = 6 cm, đường sinh l = 10 cm. Tính thể tích.

1. Đề cho đường sinh, nên tính chiều cao: h = √(l² − r²) = √(100 − 36) = √64 = 8 (cm).
2. V = ⅓ × π × 6² × 8 = ⅓ × 288π = 96π (cm³).
3. V ≈ 301,59 cm³.

Ví dụ 3 (tìm ngược). Hình nón có V = 100π cm³ và r = 5 cm. Tính h.

1. h = 3V ÷ (πr²) = 3 × 100π ÷ (π × 25).
2. = 300 ÷ 25 = 12 (cm).

Ví dụ 4 (thực tế). Một phễu hình nón có đường kính miệng 10 cm, cao 12 cm. Dung tích tối đa bao nhiêu?

1. Bán kính r = 10 ÷ 2 = 5 cm.
2. V = ⅓ × π × 25 × 12 = 100π ≈ 314,16 cm³ (khoảng 0,31 lít).

So sánh với các khối tròn xoay khác

Hình cầu bán kính r có V = (4/3)πr³, xem thêm bài thể tích hình cầu. Với cùng bán kính đáy r và chiều cao h = 2r thì thể tích hình nón là ⅔πr³, còn hình cầu là (4/3)πr³, gấp đôi.

Cách nhớ nhanh và kiểm tra kết quả

Hãy tính thể tích hình trụ cùng r và h trước, rồi chia cho 3. Nếu kết quả hình nón lớn hơn hình trụ thì chắc chắn có sai sót. Một mẹo khác là ước lượng: với r = 3 và h = 4, hình trụ có V = 36π, hình nón phải là 12π. Khi làm bài trắc nghiệm, thử nhanh bằng cách này giúp loại đáp án sai. Nếu đề cho diện tích xung quanh và bán kính, hãy tìm đường sinh, sau đó tìm chiều cao bằng Py-ta-go, rồi mới tính thể tích.

Lỗi thường gặp

• Quên hệ số ⅓, dẫn đến kết quả gấp ba lần.
• Dùng đường sinh l thay cho chiều cao h.
• Nhầm bán kính với đường kính khi đề cho đường kính.
• Làm tròn π sớm làm sai lệch kết quả; nên giữ dạng kπ đến bước cuối.

Câu hỏi thường gặp

Vì sao thể tích hình nón có hệ số ⅓?

Vì thể tích hình nón bằng một phần ba thể tích hình trụ cùng đáy và cùng chiều cao. Chứng minh chặt chẽ dùng tích phân ở bậc học cao hơn.

Thể tích hình nón có dùng đường sinh không?

Không trực tiếp. Công thức dùng chiều cao h. Nếu biết đường sinh l và r thì tính h = √(l² − r²).

Biết đường kính d thì tính thế nào?

Lấy r = d ÷ 2 rồi thay vào V = ⅓πr²h. Có thể viết gọn V = πd²h ÷ 12.

Hình nón cụt tính thể tích ra sao?

Hình nón cụt có công thức riêng V = ⅓πh(R² + Rr + r²), với R và r là bán kính hai đáy. Công thức này thường học ở mức nâng cao.

Nguồn tham khảo

• Sách giáo khoa Toán lớp 8, lớp 9 – chương trình giáo dục phổ thông Việt Nam
• Sách giáo khoa Toán lớp 5, lớp 7 – chương trình giáo dục phổ thông Việt Nam