Cách giải phương trình bậc 3 nhanh nhất.

Mình không biết phương trình bậc 3 có bao nhiêu nghiệm? Mọi người ai biết cách giải phương trình bậc 3 chính xác nhất không ạ?

Tiểu học Asked on 10 Tháng Tư, 2018 in Toán Học.
Thêm bình luận
1 Trả lời

Phương trình bậc 3 là kiến thức cơ bản được đưa vào giảng dạy tại các cấp bậc phổ thông. Việc nắm vững cách giải và tìm nghiệm phương trình bậc 3 sẽ giúp các bạn dễ dàng xử lý các dạng toán hay vẽ đồ thị hàm số.

Giải phương trình bậc 3 cơ bản

x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0

Ta có:

\Delta = b^{2} - 3ac

k= \frac{9abc - 2b^{3} - 27a^{2}d}{\sqrt[2]{|\Delta|^{3}}}

Ta có các trường hợp nghiệm sau:

Nếu \Delta < 0, phương trình có một nghiệm duy nhất là: x=\frac{\sqrt{|\Delta|}}{3a} \left ( \sqrt[3]{k+\sqrt{k^{2} + 1}} + \sqrt[3]{k - \sqrt{k^{2}+1}}\right ) - \frac{b}{3a}

Nếu \Delta = 0, phương trình có một nghiệm bội: x= \frac{-b + \sqrt[3]{b^{3} - 27a^{2}d}}{3a}

Nếu\Delta > 0 và |k| \leq 1, phương trình có 3 nghiệm: x_{1} = \frac{2\sqrt{\Delta}\cos(\frac{\arccos(k)}{3}) -b}{3a}x_{2} = \frac{2\sqrt{\Delta}\cos(\frac{\arccos(k)} {3}- \frac{2\pi }{3})- b}{3a}x_{3} = \frac{2\sqrt{\Delta}\cos(\frac{\arccos(k)} {3} + \frac{2\pi }{3})- b}{3a}

Nếu\Delta > 0 và |k| > 1, phương trình có nghiệm duy nhất x= \frac{\sqrt{\Delta}|k|}{3ak}\left ( \sqrt[3]{|k| + \sqrt{k^{2}-1}} + \sqrt[3]{|k| - \sqrt{k^{2} -1 }} \right) - \frac{b}{3a}

Giải phương trình bậc 3 bằng phương pháp Cardano

Ta có phương trình:

x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0 (1)

Bước 1: Đặt x = t - \frac{a}{3} và biến đổi bằng phép tính cơ bản ta được phương trình mới

t^{3} + 3p + q = 0 (2)

Trong đó

p = b - \frac{a^{2}}{3}

q = c + \frac{2a^{3} - 9ab }{27}

Phương trình (2) được gọi là phương trình bậc 3 suy biến. Bây giờ ta sẽ tìm các biến u và v sao cho

u^{3} - v^{3} = q và u.v = \frac{p}{3} (3)

Nghiệm đầu tiên tìm được bằng cách đặt

t = v -u

Thế các giá trị q và p (3) vào phương trình (2 ) ta được phương trình mới

(v - u)^{3} + 3uv(v - u) + (u^{3} - v^{3}) = 0

Từ phương trình u.v = \frac{p}{3} => v = \frac{p}{3u}

Thay giá trị v vào phương trình (3) ta được

u^{3} - \frac{p^{3}}{27u^{3}} = q (4)

Phương trình (4) tương đương như phương trình bậc 2 với u^{3} . Khi giải ta tìm được

u = \sqrt[3]{\frac{q}{2} \mp \sqrt{\frac{q^{2}}{4}+ \frac{p^{3}}{27}}}

t = v - u

t = x + \frac{a}{3}

x = \frac{p}{3u} - u - \frac{a}{3}

Chú ý rằng giá trị u tìm được từ (5) Vì chứa 2 căn bậc 3 với dấu( +/ – ) và mỗi căn bậc 3 có 3 giá trị là một giá trị thực và 2 giá trị tích.

-\frac{1}{2} \pm \frac{i\sqrt{3}}{2}

Nhưng dấu của căn phải lựa chọn sao cho tính x, không bị trường hợp chi cho 0 ( mội giá trị chia cho 0 đều là phương trình vô nghiệm)

Nếu p = 0 thì ta chọn dấu của căn bậc 2 sao cho u # 0, e, i.

u = \sqrt[3]{q}

Nếu p = q = 0 thì x = -\frac{a}{3}

Giải phương trình bậc 3 bằng cách rút về bậc 2

Giải phương trình bậc 3 sau

x^{3} - 3x -1 = 0

Ta phân tích phương trình thành tích phương trình bậc nhất và phương trình bậc 2 như sau

(2x - 3)(2x^{2} + 3x + 3)

Phương trình thứ nhất 2x – 3 = 0 có 1 nghiệm là x = 3/2

Phương trình (2×2 + 3x + 3) vô nghiệm. Nếu các bạn chưa biết cách giải phương trình bậc 2 có thể tham khảo nha. Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất là x = 3/2

Ngoài ra bạn cũng có thể giải phương trình bậc 3 bằng máy tính bỏ túi nữa nhé. Chúc bạn thành công.

Tiểu học Đã trả lời on 10 Tháng Tư, 2018.
Thêm bình luận

Câu trả lời của bạn

Khi tham gia trả lời bạn phải đồng ý với các điều khoản trên web site của chúng tôi: privacy policy and terms of service.